Die Lagemaße einer Verteilung können nur dann sinnvoll interpretiert werden, wenn
eine Vorstellung von der Variabilität (Streuung) der Beobachtungen innerhalb der Stichprobe
besteht. Wenn beispielsweise der Altersdurchschnitt einer Gruppe von Patienten 35
Jahre beträgt, ist es für Vergleichszwecke - und damit für eine adäquate Interpretation
- wichtig zu wissen, ob es sich hierbei ausschließlich um Patienten in einem Alter
zwischen 32 und 37 Jahren handelt, oder ob sich auch 20-jährige oder gar Kinder bzw.
60-jährige oder Greise in der Stichprobe befinden.
Das einfachste Streuungsmaß ist der Abstand zwischen dem größten und kleinsten Wert
der Stichprobe, auch als Spannweite oder Range bezeichnet. Ein großer Nachteil dieses
sehr einfachen und zunächst vernünftig erscheinenden Variabilitätsmaßes ist, dass
die Spannweite auf den beiden Extremwerten basiert, die untypische Werte einnehmen
können [2].
Ein anderes Streuungsmaß, der Interquartilsabstand, das heißt die Differenz von 75
%- und 25 %-Quantil (die „box” aus dem Box-and-Whisker- Plot), hat nicht diesen Nachteil
und lässt sich anschaulich interpretieren: Zwischen dem 75 %- und dem 25 %-Quantil
liegt die Hälfte der beobachteten Werte [1].
Sehr häufig wird zur Beschreibung der Variabilität innerhalb einer Stichprobe die
Varianz bzw. die Standardabweichung benutzt. Hierbei wird zunächst von der Differenz
jedes einzelnen Beobachtungswertes vom Mittelwert ausgegangen. Da sich positive und
negative Abweichungen bei diesem Vorgehen gegenseitig aufheben (der Mittelwert besitzt
gerade die Eigenschaft, dass die Summe der Abweichungsdifferenzen Null ergibt), werden
die Differenzen quadriert, anschließend aufsummiert, und diese Summe schließlich durch
den um eins verminderten Stichprobenumfang (n-1) dividiert. Diese mittlere quadratische
Abweichung wird als empirische Varianz bezeichnet.
Warum wird bei der Berechnung der empirischen Varianz die Summe der Abweichungsquadrate
durch n-1 und nicht durch n - was ja zunächst viel einleuchtender erscheint - geteilt?
Im Allgemeinen ist es das Ziel, von einer Stichprobe Schlussfolgerungen auf eine (zumeist
fiktive) „Grundgesamtheit” zu ziehen. Das heißt, mit dem Mittelwert und der empirischen
Varianz aus der Stichprobe sollen der Erwartungswert und die Varianz der Grundgesamtheit
geschätzt werden. Es lässt sich zeigen, dass mit der Division durch n-1 eine bessere
Schätzung für die Varianz der Grundgesamtheit erzielt werden kann als mit der Division
durch n.
Da die Varianz aufgrund der Quadrierung eine andere Dimension als der Mittelwert hat,
wird im Zusammenhang mit dem Mittelwert in der Regel die Standardabweichung angegeben,
die sich als Wurzel aus der Varianz berechnet. Daten für quantitative Merkmale aus
medizinischen Untersuchungen werden gerne als Mittelwert ± Standardabweichung, häufig
auch in Form einer Grafik, ausgewiesen. Dies rührt vermutlich daher, dass für den
Fall einer bestimmten theoretischen Verteilung, nämlich der Normalverteilung, sich
etwa zwei Drittel aller Werte in einem solchen Bereich befinden.
Für eine Beschreibung von Daten ist dies aber nicht immer sinnvoll: Einerseits wird
durch die Abtragung der Standardabweichung zu beiden Seiten des Mittelwertes eine
Symmetrie suggeriert, die oft nicht besteht [3], andererseits existiert mit dem Box-and-Whisker-Plot eine Darstellungsmöglichkeit
mit mehr Information [5].
Problematischer ist es allerdings, anstelle der Standardabweichung den Standardfehler
des Mittelwertes („standard error of the mean”, SEM) zu verwenden. Der SEM beschreibt
die Variabilität von Mittelwerten aus Stichproben mit dem gleichen Stichprobenumfang
(n) und ist ein Maß für die Präzision der Schätzung des Erwartungswertes durch den
Mittelwert [4]. Er berechnet sich aus der Standardabweichung nach Division durch die Wurzel aus
n. Somit ist der SEM immer kleiner als die Standardabweichung, was vermutlich zu seiner
„Beliebtheit” beiträgt. Er hat eine große Bedeutung bei der schließenden Statistik,
lässt aber für die Beschreibung von Daten aus einer Stichprobe - im Gegensatz zu den
Quantilen oder der Standardabweichung - keine unmittelbare Interpretation zu.
kurzgefasst
Die sinnvolle Beschreibung von Daten erfordert neben der Angabe von zentralen Lagemaßen
(Mittelwert, Median) auch noch die Darstellung von Variabilitätsmaßen (Standardabweichung,
Interquartilsabstand). Variabilitätsmaße vermitteln eine Vorstellung davon, wie stark
die einzelnen Werte um die zentralen Lagemaße streuen, das heißt, wie repräsentativ
die zentralen Lagemaße für die Stich-probe (bzw. Grundgesamtheit) sind.
Tab. [1] zeigt die englischsprachigen Übersetzungen der hier besprochenen Begriffe.
Tab. 1 Übersetzungen (deutsch - englisch)
<TD VALIGN="TOP">
Spannweite
</TD><TD VALIGN="TOP">
range
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Standardabweichung
</TD><TD VALIGN="TOP">
standard deviation
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Varianz
</TD><TD VALIGN="TOP">
variance
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Standardfehler des Mittelwertes
</TD><TD VALIGN="TOP">
standard error of the mean
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Variabilitätsmaß
</TD><TD VALIGN="TOP">
measure of variability
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Spannweite
</TD><TD VALIGN="TOP">
range
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Interquartilsabstand
</TD><TD VALIGN="TOP">
interquartile range
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Summe der Abweichungsquadrate
</TD><TD VALIGN="TOP">
sum of squares
</TD>
Dieser Beitrag ist eine überarbeitete Fassung aus dem Supplement Statistik aus dem
Jahr 2001.
