A Non-homogeneous Markov Chain Model for Follow-up Studies with Application to Epilepsy

Summary

A non-homogeneous Markov chain model is proposed for diseases involving several pathological states. An estimator of the probability of being in a given state at a given time is presented together with an estimator of its variance. A method combining the Mantel-Haenszel and the sum of χ² procedures enables us to test-whether two groups can be described by the same non-homogeneous Markov chain. Failure time data can be described by a system with two states, one being absorbing. In this case the proposed estimator reduces itself to the actuarial estimator and the test method to the logrank test. Applied to epilepsy this method is a useful tool for analysing the history of children suffering from typical absences (TA) and who can experience other forms of the disease such as grand mal (GM) and remission of TA or GM.

Ein nichthomogenes Markov-Ketten-Modell wird für Krankheiten vorgeschlagen, die verschiedene pathologische Zustände beinhalten. Ein Schätzer der Wahrscheinlichkeit, sich zu einer bestimmten Zeit in einem bestimmten Zustand zu befinden, wird dargestellt zusammen mit einem Schätzer seiner Varianz. Eine Methode, die das Mantel-Haenszel-Verfahren und das χ²-Verfahren kombiniert, ermöglicht es zu prüfen, ob zwei Gruppen durch die gleiche nichthomogene Markov-Kette beschrieben werden können. Ausfallzeitdaten können durch ein System mit zwei Stadien beschrieben werden, von denen eines absorbierend ist. In diesem Fall vereinfacht sich der vorgeschlagene Schätzer auf den versicherungsmathematischen Schätzer und die Testmethode auf den Logrank-Test. Angewandt auf die Epilepsie ist diese Methode ein nützliches Werkzeug, um die Krankengeschichte von an typischen Absencen leidenden Kindern zu analysieren, die andere Formen der Krankheit wie Grand Mal und Remission von TA oder GM erfahren können.

Key-Words:

Non-homogeneous Markov Chains - Longitudinal Studies - Epilepsy

Schlüssel-Wörter:

Nichthomogene Markov-Ketten - longitudinale Studien - Epilepsie

• References

• 1 Alling D. W.. The after-history of pulmonary tuberculosis: a stochastic model. Biometrics 1958; 14: 527-547.
• 2 Anderson T. W., Goodman L. A.. Statistical inference about Markov chains. Ann. Math. Statist 1957; 28: 89-110.
• 3 Chiang L. C. Survival and stages of disease. Math. Biosc 1979; 43: 159-171.
• 4 Commenges D., Commenges-Ducos M., Barberger-Gateau P.. A Non-stationary Markov Model Applied to the Follow-up of Patients Treated for Thyrotoxicosis. In O’Moore R. R., Barker B., Reichertz P. L., F. Roger. (Eds) Medical Informatics Europe 82. pp 489-494. Berlin -Heidelberg - New York: Springer; 1982
• 5 Cox D. R.. Regression models and life tables. J. roy. Stat. Soc. B 1972; 34: 187-220.
• 6 Iosifescu M.. Finite Markov Processes and their Applications. Chichester: J. Wiley; 1980
• 7 Iosifescu M., Tautu P.. Stochastic Processes and Applications in Biology and Medicine. Berlin-Heidelberg-New York:: Springer; 1973
• 8 Kalbfleisch J. D., Prentice R. L.. The Statistical Analysis of Failure Time Data. New York: J. Wiley; 1980
• 9 Kaplan E. L., Meier P.. Non-parametric estimation from incomplete observations. J. Amer. Stat. Ass 1958; 53: 457-481.
• 10 Lagakos S. W., Sommer C. J., Zelen M.. Semi-Markov models for partially censored data. Biometrika 1978; 65: 311-317.
• 11 Loiseau P., Pestre M., Dartigue J. F., Commenges D., Barberger-Gateau P., Cohadon S.. Long-term prognosis in two forms of childhood epilepsy: typical absence seizures and epilepsy with rolandic (centrotemporal) EEG foci. Ann. Neurol 1983; 13: 642-648.
• 12 Mantel N.. Evaluation of survival data and two rank order statistics arising in its consideration. Cancer Chemotherapy Reports 1966; 50: 163-170.
• 13 Mantel N., Haenszel W.. Statistical aspects of the analysis of data from retrospective studies of disease. J. nat. Cancer Inst 1959; 22: 719-740.
• 14 Moussa M. A. A., Hatout H., Kasraoui R., Saleh K.. Measuring the change in contingency tables using Markov models: application to the effect of preceding conception on the next one. Meth. Inform. Med 1982; 21: 31-33.
• 15 Peto R., Peto J.. Asymptotically efficient rank invariant test procedures. J. roy. statist. Soc. A 1972; 135: 185-207.
• 16 Thompson M. E.. Estimation of the parameters of a semi-Markov process from censored observations. Adv. Appl. Prob 1981; 13: 804-825.
• 17 Weiss G. H., Zelen M.. A semi-Markov model for clinical trials, J. appl. Prob 1965; 2: 269-285.