Neben der univariaten, das heißt auf ein einzelnes Merkmal bezogenen Analyse von Daten
aus einer klinischen Studie, ist man häufig daran interessiert, den Zusammenhang zwischen
zwei (bivariat) oder mehreren (multivariat) Variablen zu betrachten. Bei Betrachtung
von zwei quantitativen Merkmalen bietet sich als anschauliche, grafische Darstellungsweise
die Punktwolke an, bei der die Wertepaare durch einen Punkt in einem Koordinatensystem
abgebildet werden (Abb.
[1]). Damit wird sofort visuell erfassbar, ob überhaupt ein Zusammenhang besteht, und
wenn ja, wie stark er ist. Tab. [1] enthält die Werte für den systolischen Blutdruck und das Körpergewicht von 24 zufällig
ausgewählten Patienten einer dermatologischen Ambulanz. Abb.
[1] zeigt die dazugehörige Punktwolke, die einen recht deutlichen Zusammenhang zwischen
den beiden Merkmalen erkennen lässt.
Abb. 1 Punktwolke für den Zusammenhang zwischen Körpergewicht (kg) und systolischen Blutdruck
(mm Hg) von 24 zufällig ausgewählten Patienten einer dermatologischen Ambulanz.
Tab. 1 Körpergewicht (kg) und systolische Blutdruckwerte (mm Hg) von 24 zufällig ausgewählten
Patienten einer dermatologischen Ambulanz.
<TD VALIGN="TOP">
Patientennummer
</TD><TD VALIGN="TOP">
Körpergewicht (kg)
</TD><TD VALIGN="TOP">
systolischer Blutdruck (mm Hg)
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
1
</TD><TD VALIGN="TOP">
54,5
</TD><TD VALIGN="TOP">
128
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
2
</TD><TD VALIGN="TOP">
77,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
154
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
3
</TD><TD VALIGN="TOP">
78,5
</TD><TD VALIGN="TOP">
180
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
4
</TD><TD VALIGN="TOP">
48,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
96
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
5
</TD><TD VALIGN="TOP">
90,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
142
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
6
</TD><TD VALIGN="TOP">
86,5
</TD><TD VALIGN="TOP">
170
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
7
</TD><TD VALIGN="TOP">
54,6
</TD><TD VALIGN="TOP">
122
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
8
</TD><TD VALIGN="TOP">
61,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
130
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
9
</TD><TD VALIGN="TOP">
66,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
118
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
10
</TD><TD VALIGN="TOP">
54,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
98
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
11
</TD><TD VALIGN="TOP">
85,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
172
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
12
</TD><TD VALIGN="TOP">
80,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
149
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
13
</TD><TD VALIGN="TOP">
80,5
</TD><TD VALIGN="TOP">
150
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
14
</TD><TD VALIGN="TOP">
96,7
</TD><TD VALIGN="TOP">
181
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
15
</TD><TD VALIGN="TOP">
68,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
170
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
16
</TD><TD VALIGN="TOP">
50,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
109
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
17
</TD><TD VALIGN="TOP">
71,5
</TD><TD VALIGN="TOP">
140
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
18
</TD><TD VALIGN="TOP">
55,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
150
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
19
</TD><TD VALIGN="TOP">
78,5
</TD><TD VALIGN="TOP">
139
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
20
</TD><TD VALIGN="TOP">
94,5
</TD><TD VALIGN="TOP">
157
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
21
</TD><TD VALIGN="TOP">
68,7
</TD><TD VALIGN="TOP">
121
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
22
</TD><TD VALIGN="TOP">
97,2
</TD><TD VALIGN="TOP">
160
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
23
</TD><TD VALIGN="TOP">
53,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
91
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
24
</TD><TD VALIGN="TOP">
84,0
</TD><TD VALIGN="TOP">
161
</TD>
Eine Möglichkeit, den Zusammenhang zwischen Merkmalen statistisch zu beschreiben,
bietet die Regressionsanalyse. Bei der einfachen, linearen Regression, erfolgt anhand
einer Geradengleichung die Vorhersage von Werten einer abhängigen Variablen aus den
Werten einer als unabhängig angesehenen Variablen; es wird also ein Modell verwendet.
Modelle können die Realität meist nur unvollkommen beschreiben, aber das lineare Modell
hat sich für viele medizinische Anwendungen als sinnvoll und hilfreich erwiesen. Die
Angemessenheit lässt sich häufig bereits bei der visuellen Betrachtung der Punktwolke
beurteilen.
Ähnlich wie der Mittelwert im univariaten Fall einen typischen Wert der Stichprobe
für das betrachtete Merkmal repräsentiert [2], liefert die Regressionsgerade einen typischen Wert der abhängigen Variablen bei
gegebenem Wert der unabhängigen. Das Stichwort der „Vorhersage” macht deutlich, dass
bei der Regression die Richtung des Zusammenhangs üblicherweise vorgegeben wird, das
heißt es können schon a priori sinnvoll eine abhängige Variable (Outcome), deren Werte
vorhergesagt werden sollen, und eine unabhängige Variable (Prädiktor) definiert werden.
Für die Punktwolke wird als Konvention die abhängige Variable zumeist auf der Ordinate
(y-Achse) und die unabhängige Variable auf der Abszisse (x-Achse) abgebildet.
Eine Geradengleichung benötigt zwei Parameter: Zum einen die Steigung der Geraden,
die angibt, um wie viel die Werte der abhängigen Variable steigen oder fallen, wenn
sich die unabhängige Variable um eine Einheit verändert, und zum zweiten der Achsenabschnitt,
der das Basisniveau der abhängigen Variable angibt, wenn also die unabhängige Variable
den Wert Null annimmt. Die Steigung der Geraden wird als Regressionskoeffizient bezeichnet.
In Abb.
[2] ist die Regressionsgerade mit der entsprechenden Regressionsgleichung für die Daten
aus Tab. [1] dargestellt. Es erscheint plausibel, den Blutdruck in Abhängigkeit vom Gewicht und
nicht umgekehrt zu betrachten. Die Geradengleichung zeigt an, dass der Wert des systolischen
Blutdrucks im Mittel um ca. 1,3 mm Hg ansteigt, wenn der Wert des Körpergewichts um
1 kg zunimmt. Bei einer 70 kg schweren Person ist mit einem Blutdruck von 70 × 1,3
+ 46,0 ≈ 137 mm Hg zu rechnen. Die am besten „passende” Regressionsgerade wird durch
ein besonderes statistisches Schätzverfahren - die Kleinste-Quadrate-Methode - gefunden,
und zwar ist es diejenige Gerade, bei der die Summe der quadrierten (vertikalen) Abstände
zwischen den einzelnen Punkten und der Geraden minimal wird.
Abb. 2 Punktwolke mit Regressionsgerade und Regressionsgleichung für den Zusammenhang zwischen
Körpergewicht (kg) und systolischen Blutruck (mm Hg). Das Körpergewicht ist die unabhängige
(Prädiktor), der systolische Blutdruck die abhängige Variable (Outcome).
kurzgefasst
Mit der Regression lässt sich der Zusammenhang zwischen einer abhängigen und einer
oder mehreren unabhängigen Variablen darstellen. Die Regressionsgleichung liefert
den Wert der abhängigen Variable, wenn die unabhängige bekannt ist.
Für eine weitere Quantifizierung des beobachteten Zusammenhangs zwischen den Merkmalen
ist das Bestimmtheitsmaß (R2) ein sehr anschaulicher Parameter. Hierfür muss man sich zunächst vergegenwärtigen,
dass die Werte der abhängigen Variable - im Beispiel die Blutdruckwerte - bei univariater
Betrachtung um ihren Mittelwert „streuen”; diese Streuung wird als Summe der quadratischen
Abweichungen (der Einzelwerte von ihrem Mittelwert) ausgedrückt [3]. Die Blutdruckwerte streuen auch um die Regressionsgerade, aber in einem geringeren
Ausmaß als um ihren Mittelwert. Das Bestimmtheitsmaß bezeichnet nun den Anteil, um
den die Variabilität der abhängigen Variable durch die Regression, also durch die
zusätzliche Betrachtung der unabhängigen Variable, vermindert wird. Als Maß für die
Streuung um die Regressionsgerade wird wieder die Summe von Abweichungsquadraten (der
Einzelwerte von der Regressionsgerade) verwendet. Im Beispiel ergibt sich ein Bestimmtheitsmaß
von 0,62, also 62 % der „rohen” Variabilität der Blutdruckwerte aus der Stichprobe
kann durch das Körpergewicht der Patienten „erklärt” werden (unter Annahme des linearen
Modells).
Ein weiteres Maß für die Quantifizierung des Zusammenhangs zwischen zwei (quantitativen)
Merkmalen ist der Korrelationskoeffizient „r”. Der Absolutbetrag des Korrelationskoeffizienten nach Pearson ist einfach die Wurzel
aus dem Bestimmtheitsmaß: |r| = Ö R2
. Der Korrelationskoeffizient r kann Werte zwischen -1 (negativer Zusammenhang) und + 1 (positiver Zusammenhang)
annehmen. Das Vorzeichen von r ist dasselbe wie das des Regressionskoeffizienten.
Ein Korrelationskoeffizient von Null bedeutet, dass kein linearer Zusammenhang besteht.
Für das Beispiel ergibt sich | r| = √0,62 ≈ 0,79. Anstelle des Korrelationskoeffizienten nach Pearson kann auch der
Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman berechnet werden. Er basiert, wie der Name
andeutet, nicht auf den Messwerten, sondern auf den Rangzahlen, die die Messwerte
in der sortierten Stichprobe einnehmen. Er ist in gleicher Weise zu interpretieren
wie der Korrelationskoeffizient nach Pearson und wird insbesondere bei der Betrachtung
von Scores benutzt.
Der Korrelationskoeffizient ist eines der am häufigsten, leider oft auch fälschlich
eingesetzten Maße in der medizinischen Statistik. Deshalb soll auf folgende, für eine
adäquate Interpretation zu beachtende Punkte hingewiesen werden:
-
Der Korrelationskoeffizient, genauso wie die Regressionsgerade, liefert keine Aussage
über einen kausalen Zusammenhang.
-
Der Wert des Korrelationskoeffizienten kann sehr stark durch Extremwerte beeinflusst
werden. Das ist leicht nachzuvollziehen, da Extremwerte die Varianz eines Merkmals
stark erhöhen, und dann durch die Regression sehr viel von dieser Varianz „erklärt”
werden kann.
-
Die gemeinsame Betrachtung von zwei sehr unterschiedlichen Gruppen kann zu einer hohen
Korrelation zwischen Merkmalen führen, obwohl innerhalb jeder Gruppe nur eine geringe
oder gar keine Korrelation zwischen den Merkmalen besteht (Heterogenitätskorrelation).
-
Der Korrelationskoeffizient ist kein Maß für Übereinstimmung! Seine Verwendung beim
Vergleich zweier Messverfahren ist daher für sich allein nicht aussagefähig und häufig
nicht adäquat [1]
[4] [5]. Ein Korrelationskoeffizient nahe 1 wird auch dann erreicht, wenn zum Beispiel beim
Vergleich zweier Verfahren zur Blutzuckermessung das eine Verfahren doppelt so hohe
Werte liefert wie das andere.
kurzgefasst
Der Korrelationskoeffizient r zeigt den linearen Zusammenhang zwischen 2 Variablen. Er kann Werte zwischen -1 und
+1 einnehmen. Der Korrelationskoeffizient dient NICHT der Darstellung von kausalen
Zusammenhängen oder Übereinstimmungen.
Tab. [2] zeigt wieder die Übersetzungen wichtiger Begriffe für die Interpretation englischsprachiger
Studien.
Tab. 2 Übersetzungen (deutsch - englisch)
<TD VALIGN="TOP">
Kleinste-Quadrate-Methode
</TD><TD VALIGN="TOP">
least-square-method
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Vorhersage
</TD><TD VALIGN="TOP">
prediction
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Bestimmtheitsmaß (R2)
</TD><TD VALIGN="TOP">
coefficient of determination
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
(Un)abhängige Variable
</TD><TD VALIGN="TOP">
(in)dependent variable
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Korrelationskoeffizient
</TD><TD VALIGN="TOP">
correlation coefficient
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Regression
</TD><TD VALIGN="TOP">
regression
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Regressionsgerade (-koeffizient)
</TD><TD VALIGN="TOP">
regression line (coefficient)
</TD>
<TD VALIGN="TOP">
Punktwolle
</TD><TD VALIGN="TOP">
scatter plot
</TD>
Dieser Beitrag ist eine überarbeitete Fassung aus dem Supplement Statistik aus dem
Jahr 2001.
